Question

如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形， M、N分别是CE、CF的中点.

1.求证：△DMN是等边三角形；

2.连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

 

Answer 1

 

1.取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.  

∴NG = NC，DG = CM.

∵∠1 + ∠2 = 180º，

∴∠NGD + ∠2 = 240º.

∵∠2 + ∠3 = 240º，

∴∠NGD =∠3.

∴△NGD≌△NCM .

∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. 

∴∠DNM =∠GNC = 60º.

∴△DMN是等边三角形. 

2.连接QN、PM.

∴QN =CE=PM.

Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5.

∵MN∥EF，∴∠5=∠6，∠7= ∠8.

∵NQ∥CE，∴∠7=∠4.

∴∠6= ∠8.

∴∠QND= ∠PMD.

∴△QND≌△PMD.

            ∴DQ= DP. 

解析:

1.先证出NG = NC，DG = CM，再证出△NGD≌△NCM，得出△DMN是等边三角形；

2.根据题意得出QN =CE=PM，然后证明△QND≌△PMD，从而得出DQ= DP.