Question

5．如图，已知AD为△ABC的中线，延长AD，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．
（1）求证：△BED≌△CFD．
（2）若∠EAC=45°，AF=4，DC=5，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理AAS判定Rt△BDE≌Rt△CDF；
（2）由Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF由∠EAC=45°，∠CFA=90°，推出AF=CF=4，在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD；
又∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E=∠CFD=90°；
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CDF}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等），
∵∠EAC=45°，∠CFA=90°，
∴AF=CF=4，
在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴EF=2DF=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．以及三角形全等的性质，全等三角形的对应边、对应角相等．