精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
精英家教网已知:如图,以△ABC的顶点A为圆心,r为半径的圆与边BC交于D、E两点,且AC2=CE•CB.
(1)求证:r2=BD•CE;
(2)设以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S,若BD、CE的长是关于x的方程x2-mx+3m-5=0的两个实数根,求S=
π2
时的r的值.
分析:连接AD,AE,(1)根据已知条件可以推出△ACE∽△BCA,得∠EAC=∠B,既而推出△AEC∽△BDA,即可推出结论,(2)根题意,S=(
BD2+CE2
2
2•π=
π
2
,因为BD•CE=3m-5,BD+CE=m,代入方程,解方程得m的值,既而求r的值.
解答:精英家教网(1)证明:如图,连接AD,AE,
∵AC2=CE•CB.
∴△ACE∽△BCA,
∴∠EAC=∠B,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠ADB=AEC,
∴△AEC∽△BDA,
∴AD•AE=BD•CE,
∴r2=BD•CE,

(2)解:∵以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S,
∴S=(
BD2+CE2
2
2•π,
∵S=
π
2

∴(
BD2+CE2
2
2•π=
π
2
,即BD2+CE2=2,
∵BD、CE的长是关于x的方程x2-mx+3m-5=0的两个实数根,
∴BD•CE=3m-5,BD+CE=m,
∴BD2+CE2=(BD+CE)2-2BD•CE=m2-2(3m-5)=2,
整理得:m2-6m+8=0,解得:m=2,m=4,
当m=4时,原方程则无解,应舍去.
m=2.
∴BD•CE=1
∵r2=BD•CE,
∴r=1.
点评:本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心的性质、解一元二次方程、根与系数的关系等性质定理的综合运用,解题的关键在于找到形似三角形,求出以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的半径的表达式.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A,B),过点P作半圆O的切线分别交过A,B两点的切线于D,C,AC、BD相交于N点,连接ON、NP.下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP;③DP•PC为定值;④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是(  )
A、①②B、②④C、①③④D、②③④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC.
(1)BC与⊙O是否相切?请说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O,D是⊙O上的点,且有AC=CD.过点C作⊙O的切线,与BD的延长线交于点E,连接CD.
(1)试判断BE与CE是否互相垂直,请说明理由;
(2)若CD=2
5
,tan∠DCE=
1
2
,求⊙O的半径长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料:
   李老师提出一个问题:“已知:如图1,AB=m(m>0),∠BAC=α(α为锐角),在射线AC上取一点D,使构成的△ABD唯一确定,试确定线段BD的取值范围.”
   小明同学说出了自己的解题思路:以点B为圆心,以m为半径画圆(如图2所示),D为⊙B与射线AC的交点(不与点A重合),连结BD,所以,当BD=m时,构成的△ABD是唯一确定的.
    李老师说:“小明同学画出的三角形是正确的,但是他的解答不够全面.”

对于李老师所提出的问题,请给出你认为正确的解答(写出BD的取值范围,并在备用图中画出对应的图形,不写作法,保留作图痕迹).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,以△ABC的一边BC为直径作半圆,交AB于E,过E点作半圆O的切线恰与AC垂直,试确定边BC与AC的大小关系,并证明你的结论.

查看答案和解析>>

同步练习册答案