Question

1．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接CF并延长交BD于点G，则线段CG的长等于$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 延长AF交BC于M，AB交CG于O．只要证明△CMF∽△CGB，可得$\frac{CM}{CG}$=$\frac{CF}{BC}$，只要求出CM、CF、BC即可解决问题．

解答 解：延长AF交BC于M，AB交CG于O．

∵AB=AC=4，∠CAB=90°，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AE=EB=2，四边形AFED是正方形，
∴AF=EF=$\sqrt{2}$，∴∠EAF=∠EAD=45°，
∴∠MAB=∠MAC=45°，
∴CM=BM=AM=2$\sqrt{2}$，
∴FM=AM-AF=$\sqrt{2}$，
在Rt△CMF中，CF=$\sqrt{C{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AC=AB，∠CAF=∠BAD=45°，AF=AD，
∴△CAF≌△BAD，
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠AOC=∠BOG，
∴∠CAO=∠BGO=90°，
∵∠MCF=∠BCG，∠CMF=∠CGB=90°，
∴△CMF∽△CGB，
∴$\frac{CM}{CG}$=$\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{CG}$=$\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$，
∴CG=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．