【题目】在平面直角坐标系中,对于任意两点,,如果,则称与互为“距点”.例如:点,点,由,可得点与互为“距点”.
(1)在点,,中,原点的“距点”是_____(填字母);
(2)已知点,点,过点作平行于轴的直线.
①当时,直线上点的“距点”的坐标为_____;
②若直线上存在点的“点”,求的取值范围.
(3)已知点,,,的半径为,若在线段上存在点,在上存在点,使得点与点互为“距点”,直接写出的取值范围.
【答案】(1);(2)①;②;(3).
【解析】
(1)根据定义判断即可;
(2)①设直线上与点的“距点”的点的坐标为(a,3),根据定义列出关于a的方程,解方程即可;
②点坐标为,直线上点的纵坐标为b,由题意得,转化为不等式组,解不等式组即可.
(3)分类讨论,分别取P与点M重合、P与点N重合讨论。当点P与点M重合时,设⊙C左侧与x轴交于点Q,则点Q的坐标是(m-,0),根据定义列出关于m的绝对值方程,解方程,取较小的值;当点P与点N重合时,设⊙C右侧与x轴交于点Q,则点Q的坐标是(m+,0),根据定义列出关于m的绝对值方程,解方程,取较大的值,问题得解.
解:(1)∵,O(0,0),
∴,
∴点D与原点互为“距点”;
∵,O(0,0),
∴,
所以点D与原点互为“距点”;
∵,O(0,0),
∴,
所以点D与原点互为“距点”;
故答案为:;
(2)①设直线上与点的“距点”的点的坐标为(a,3),
则,
解得a=2
故答案为(2,3);
②如图,点坐标为,直线上点的纵坐标为b,设直线上点的坐标为(c,b)
则:,
∴,
∴,
∴,
即的取值范围是;
(3)如图(1),当点P与点M重合时,设⊙C左侧与x轴交于点Q,则点Q的坐标是(m-,0),
∵点P与点Q互为“5-距点",P(1,2),
∴,
解得: ,;
∵,
∴取.
当点P与点N重合时,设⊙C右侧与x轴交于点Q,则点Q的坐标是(m+,0),
∵点P与点Q互为“5-距点",则P(3,2),
∴,
解得:, ,
∵
∴取
∴.
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【题目】如图,点在边上,点为边上一动点,连接与关于所在直线对称,点分别为的中点,连接并延长交所在直线于点,连接.当为直角三角形时,的长为_________ .
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【题目】如图,二次函数的图像经过的三个顶点,其中,
(1)求点的坐标;
(2)在第三象限存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形,求满足条件的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,能否将抛物线平移后经过两点,若能求出平移后经过两点的拋物线的表达式,并写出平移过程.若不能,请说明理由.
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【题目】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号)
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【题目】如图,在△ABC中,D为AB中点,过点D作DF//BC交AC于点E,且DE=EF,连接AF,CF,CD.
(1)求证:四边形ADCF为平行四边形;
(2)若∠ACD=45°,∠EDC=30°,BC=4,求CE的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”.如图,已知某条“子抛物线”的二次项系数为,且与y轴交于点C.设点A的横坐标为m(m>0),过点A作y轴的垂线交y轴于点B.
(1)当m=1时,求这条“子抛物线”的解析式;
(2)用含m的代数式表示∠ACB的余切值;
(3)如果∠OAC=135°,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1)请解答下列问题:
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称,画出△A1B1C1并直接写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C,并求出线段AC旋转时扫过的面积.
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【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式;
求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?每天的总成本每件的成本每天的销售量
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