Question

12．如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B山发，沿BA方向以相同速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设△APQ的面积为S（平方单位），点Q运动的时间为t（秒）．
（1）当t=1时，求PQ的长；
（2）当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式；
（4）如图②，当点P在线段AC上运动时，作线段PQ的垂直平分线，直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC顶点时t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，过点Q作QM⊥AC，垂足为M．先由勾股定理求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得AM、QM的长，从而求得PM的长，最后在Rt△QPM中，由勾股定理求得PQ长即可；
（2）①当△APQ∽△ACB时，依据相似三角形的性质可求得t=$\frac{20}{9}$；②当△APQ∽△ABC时．依据相似三角形的性质可求得t=$\frac{25}{9}$；
（3）当点P在AC上时，如图2所示：过点Q作QM⊥AC，垂足为M，先表示出MQ的长，然后由三角形的面积公式可求得函数的关系式；当点P在BC上时，如图3所示，过点P作PN⊥AB，垂足为N．先求得PN的长，最后由三角形的面积公式可求得函数的关系式；
（4）图4、图5、图6所示，分为PC=CQ、AP=AQ、BP=BQ三种情况，然后根据线段相等列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1所示，过点Q作QM⊥AC，垂足为M．在△PMQ中

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵t=1，
∴AP=1，QB=1．
∴AQ=4．
∵QM⊥AC，BC⊥AC，
∴QM∥BC．
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AM}{AC}$=$\frac{MQ}{CB}$，即$\frac{4}{5}=\frac{AM}{4}$=$\frac{MQ}{3}$．
∴AM=$\frac{16}{5}$，MQ=$\frac{12}{5}$．
∴PM=$\frac{11}{5}$．
在Rt△QPM中，由勾股定理得：PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{265}}{5}$．
（2）①当△APQ∽△ACB时．
∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$．
∴$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$．
解得：t=$\frac{20}{9}$．
②当△APQ∽△ABC时．
∵△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$．
∴$\frac{t}{5}=\frac{5-t}{4}$．
解得：t=$\frac{25}{9}$．
（3）①当点P在AC上时，如图2所示：过点Q作QM⊥AC，垂足为M．

∵sin∠QAM=$\frac{3}{5}$，
∴MQ=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3}{5}$（5-t）．
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}AP•MQ$=$\frac{1}{2}t•\frac{3}{5}（5-t）$=$-\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$．
②当点P在BC上时，如图3所示，过点P作PN⊥AB，垂足为N．

∵sin∠B=$\frac{4}{5}$，
∴PN=PB•sin∠B=$\frac{4}{5}$PB=$\frac{4}{5}$（7-t）．
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}AQ•PN$=$\frac{1}{2}×（5-t）×\frac{4}{5}（7-t）$=$\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{24}{5}t+14$．
∴s与t的函数关系式为$S=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t（0＜t≤4）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{24}{5}t+14（4＜t＜5）}\end{array}\right.$．
（4）①如图4所示，当PC=CQ时，过点作QN⊥BC，垂足N．

∵sin∠B=$\frac{AC}{CB}=\frac{4}{5}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴QN=$\frac{4}{5}$QB=$\frac{4}{5}t$，NB=$\frac{3}{5}$QB=$\frac{3}{5}t$．
∴CN=3-$\frac{3}{5}t$．
在Rt△CNQ中，CQ=$\sqrt{（\frac{4}{5}t）^{2}+（3-\frac{3}{5}t）^{2}}$．
∵CP=CQ，
∴4-t=$\sqrt{（\frac{4}{5}t）^{2}+（3-\frac{3}{5}t）^{2}}$．
解得：t=$\frac{35}{22}$．

②如图5所示，当AP=AQ时，
∵AP=t，AQ=AB-BQ=5-t，
∴t=5-t．
解得：t=2.5．
③如图6所示，当BP=BQ时，连接PB．

在Rt△PBC中，PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（4-t）^{2}+{3}^{2}}$．
∵PB=QB，
∴$\sqrt{（4-t）^{2}+{3}^{2}}$=t．
解得：t=$\frac{25}{8}$．
综上所述，当t=$\frac{35}{22}$或t=2.5或t=$\frac{25}{8}$时，线段PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积公式，解答本题主要应用了分类讨论的数学思想，根据题意画出符合题意得图形是解题的关键．