Question

15、已知一次函数y₁=6x，二次函数y₂=3x²+3，是否存在二次函数y₃=x²+bx+c，其图象经过点（-4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₂≤y₃成立？若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先假设存在这样的实数a，则实数a也必须满足y₁=y₂=y₃，所以，在足y₁=y₂的方程中求的点a的坐标；然后将其代入y₃，再与二次函数y₃=x²+bx+c图象经过点（-4，1）这一条件，解得b、c的值，从而解得y₃的解析式；最后根据y₂≤y₃来解关于a的不等式，该不等式的值是a取任何实数，不等式都会成立，则存在这样的实数a，反之，不存在这样的实数a．即假设不成了．

解答：解：存在这样的实数．
设该实数是a．
则y₁≤y₂，即6a≤3a²+3，
解得（a-1）²≥0，
∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y₁≤y₂≤y₃，
将点（1，6）代入二次函数y₃=x²+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函数y₃=x²+bx+c，其图象经过点（-4，1），
∴1=16-4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函数y₃的解析式为：y=x²+4x+1；
∴3a²+3≤a²+4a+1，
解得，（a-1）²≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a不适合．
所以，不存在这样的任意实数a，使y₁≤y₂≤y₃成立．

点评：本题综合考查了二次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法求二次函数解析式．解答此题时，采用了“反证法”来证明a的存在与否．