【题目】如图,在正方形ABCD中,N是DC上的点,且,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
从点B处作BF⊥MN交MN于点F,根据题意可设DN=3a,NC=4a,则CD=7a,首先证明△BFM≌△BAM推出AM=MF设AM=x,再证明△BCN≌△BFN,推出CN=NF,在Rt△DMN中利用勾股定理列出方程即可解决问题.
从点B处作BF⊥MN交MN于点F,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD=AD,AD∥BC,∠A=∠C=∠D=90°,
∴∠AMB=∠MBC,
∵∠NMB=∠MBC,
∴∠BMA=∠BMF,
∵BA⊥MA,BF⊥MN,
∴AB=BF,
在Rt△BMA和Rt△BMF中,
,
∴Rt△BMA≌Rt△BMF,
∴AM=MF,
同理可证△BCN≌△BFN,
∴CN=NF,
设DN=3a,NC=4a,则CD=7a,则NF=4a,设AM=MF=x,
在Rt△DMN中,∵MN2=DM2+DN2
(3a)2+(7a-x)2=(4a+x)2,
解得x=,
∴AM=,
∵AB=CD=7a,
∴AM:AB=3:11;
故选A.
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【题目】杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单,下面给出了这种工件的三视图.已知铸造这批工件的原料是生铁,待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆,那么完成这批工件需要原料生铁多少吨?涂完这批工件要消耗多少千克的防锈漆?(铁的密度为7.8g/cm3 ,1千克防锈漆可以涂4m2的铁器面,三视图单位为cm)
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【题目】观察推理:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D、E.
(1)求证:△AEC≌△CDB;
(2)类比探究:如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,求△AB′C的面积;
(3)拓展提升:如图3,∠E=60°,EC=EB=4cm,点O在BC上,且OC=3cm,动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间.
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【题目】如图所示.在△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,则四边形AEDF的周长等于这个三角形的( )
A.周长B.周长的一半
C.两腰长和的一半D.两腰长的和
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【题目】贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出,已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°).
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【题目】A,B两地被大山阻隔,若要从A地到B地,只能沿着如图所示的公路先从A地到C地,再由C地到B地.现计划开凿隧道A,B两地直线贯通,经测量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道开通后与隧道开通前相比,从A地到B地的路程将缩短多少?(结果精确到0.1km,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
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【题目】如图,三个顶点的坐标分别为,,,以原点为位似中心,将缩小,使变换后得到的与对应边的比为,则线段的中点变换后对应的点的坐标为( )
A. (2,) B. (-2,-) C. (2,)或(-2,-) D. (8,6)或(-8,-6)
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【题目】问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.
【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD;请证明你的结论.
【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73)
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【题目】探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品--圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,
(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:
①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,∠A=40°,则∠ABX+∠ACX等于多少度;
②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;
③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度数.
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