【题目】如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2 图3
【答案】(1) (2)
+
+4 当x=2或4或5-
时,△PMN为等腰三角形
【解析】【试题分析】(1)在直角三角形BEG中,利用三角函数求解;(2)①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不发生改变.过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.先求PQ、PN、PM,再求出MN,最后求出△PMN的周长即可;②按照当PM=PN时, 当MP=MN时,当NP=NM时, 三种情况分类讨论即可.
【试题解析】
(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.
在Rt△BEG中, ,∠B=60°,
所以,
.
所以点E到BC的距离为.
(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.
因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.
①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不发生改变.
过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.
在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=.
在平行四边形BMQE中,BM=EQ=1+x.
所以BG=PQ=1.
因为PM与NH平行且相等,所以PH与NM互相平分,PH=2PQ=2.
在Rt△PNH中,NH=,PH=2,所以PN=
.
在平行四边形ABMN中,MN=AB=4.
因此△PMN的周长为+
+4.
②当点N在线段DC上时,△CMN恒为等边三角形.
如图5,当PM=PN时,△PMC与△PNC关于直线PC对称,点P在∠DCB的平分线上.
在Rt△PCM中,PM=,∠PCM=30°,所以MC=3.
此时M、P分别为BC、EF的中点,x=2.
如图6,当MP=MN时,MP=MN=MC=,x=GM=GC-MC=5-
.
如图7,当NP=NM时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°.
又因为∠FNM=120°,所以P与F重合.
此时x=4.
综上所述,当x=2或4或5-时,△PMN为等腰三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】指出下列近似数精确到哪个数位:
(1)π≈3.14 精确到______. (2)精确到____;
(3)21.80≈______(精确到个位);(4)579700 精确到千位是______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,根据跳水运动员的年龄(单位:岁),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的跳水运动员人数为 ,图①中的值为 ;
(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣
x﹣
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
(1)求直线AE的解析式;
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,求P点坐标?
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2﹣
x﹣
沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】刘明上周末买进某只股票2000股,每股38元,下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位:元)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
每股涨跌 | +2.1 | +1.5 | -2 | -1 | +3.8 | -2.7 |
(1)星期三收盘时,每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?最低每股多少元?
(3)已知买进股票时付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交税,刘明周六收盘前全部卖出股票获利多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明∠PQC=90°;
(2)如图②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时,∠PQC=90°?请说明.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com