Question

【题目】如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】(1) (2) ＋＋4 当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形

【解析】【试题分析】（1）在直角三角形BEG中，利用三角函数求解；（2）①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不发生改变．过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．先求PQ、PN、PM，再求出MN，最后求出△PMN的周长即可；②按照当PM＝PN时， 当MP＝MN时，当NP＝NM时， 三种情况分类讨论即可.

【试题解析】

（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．

在Rt△BEG中， ，∠B＝60°，

所以， ．

所以点E到BC的距离为．

（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．

因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．

①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不发生改变．

过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．

在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．

在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．

所以BG＝PQ＝1．

因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．

在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．

在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．

因此△PMN的周长为＋＋4．

②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．

在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．

此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．

如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．

如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．

又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．

此时x＝4．

综上所述，当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形．