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    （2011•辽阳）如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．
    （1）求D点坐标；
    （2）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
    （3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ）．
    分析：（1）过点D作DC⊥x轴于点E，如图（1），由轴对称得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，从而可以求出D的坐标．
    （2）通过解直角三角形AOB求出AB的值，求出点B的坐标，再将B、D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
    （3）利用（2）的解析式，求出E点的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，从而求出F的坐标，从而求出EF，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2），由题意可得PH=GM从而求出点P的坐标．
    解答：解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图（1）．
    由翻折可知：DO=AO=3，
    ∠AOB=∠BOD=30°，
    ∴∠DOE=30°．
    ∴DE=
    3
    2

    在Rt△COD中，由勾股定理，得
    OE=
    3
    		3
    2

    ∴D（
    3
    		3
    2
    ，
    3
    2
    ）

    （2）在Rt△AOB中，
    AB=AO•tan30°=3×
    		3
    3
    =
    		3
    ，
    ∴B（
    		3
    ，3）．
    ∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B（
    		3
    ，3），D（
    3
    		3
    2
    ，
    3
    2
    ）两点，
    ∴
    3a+
    		3
    b+3=3
    27
    4
    a+
    3
    		3
    2
    b+3=
    3
    2

    解得
    a=-
    2
    3
    b=
    2
    		3
    3

    ∴此抛物线表达式为y=-
    2
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+3．

    （3）存在符合条件的点P，设P（x，y），
    作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）．
    ∵E为抛物线y=-
    2
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+3的顶点，
    ∴E（
    		3
    2
    ，
    7
    2
    ）．
    设OB所在直线的表达式为y=kx，
    将点B（
    		3
    ，3）代入，得k=
    		3
    ，
    ∴y=
    		3
    x．
    ∵P在射线OB上，
    ∴P（x，
    		3
    x），F（
    		3
    2
    ，
    3
    2
    ）．
    则H（x，
    7
    2
    ）G（x，
    3
    2
    ）．
    ∵M在抛物线上，M（x，-
    2
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x    +3）．
    要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．
    		3
    x-
    7
    2
    =
    3
    2
    -（-
    2
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+3），
    即-
    2
    3
    x2+
    2
    		3
    3
    x+3+
    		3
    x=5．
    解得x1=2
    		3
    ，x2=
    		3
    2
    ．
    ∴P1点坐标为（2
    		3
    ，6），P2点坐标为（
    		3
    2
    ，
    3
    2
    ）与F重合，应舍去．
    ∴P点坐标为（2
    		3
    ，6）．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的判定及性质及解直角三角形的运用．
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