Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。
（1）求证：MN=AM+BN；

（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）MN=BN-AM

试题分析：（1）根据同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，即可证得△AMC≌△CNB，从而可得AM=CN，MC=BN，即可得到结论；
（2）类似于（1）的方法，证得△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB，
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
（2）（7分）答: MN=BN-AM
证明：∵∠AMC=∠BNC=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∠NCB+∠CBN=90°，
故∠ACM=∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC，
∴△AMC≌△CNB，
∴CM =BN，
CN=AM，
∴MN=CM-CN=BN-AM，
∴MN=BN-AM。
点评：解答本题的关键是根据同角的余角相等得到对应角相等，从而证得三角形全等．