Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，

∴A（5，0），B（0，10），

∵抛物线过原点，

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，

∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x，

∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），

∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

（2）

解：如图1，

当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，

由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP=CQ，

∴2t=10﹣t，

∴t= ，

∴当运动时间为 时，PA=QA；

（3）

解：存在，

∵y= x2﹣ x，

∴抛物线的对称轴为x= ，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB=5

设点M（ ，m），

①若BM=BA时，

∴（ ）2+（m﹣10）2=125，

∴m1= ，m2= ，

∴M1（ ， ），M2（ ， ），

②若AM=AB时，

∴（ ）2+m2=125，

∴m3= ，m4=﹣ ，

∴M3（ ， ），M4（ ，﹣ ），

③若MA=MB时，

∴（ ﹣5）2+m2=（ ）2+（10﹣m）2，

∴m=5，

∴M（ ，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，

∴点M的坐标为：M1（ ， ），M2（ ， ），M3（ ， ），M4（ ，﹣ ），

【解析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可，