Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．

（1）如图1，点E是BC边上的一点，BE=2，AE、BD交于点F．①求AF：FE的值；②求△BEF的面积；
（2）如图2，将矩形纸片沿MN折叠，使点B与边CD的中点重合，点A、B的对应点为A₁、B₁，A₁B₁与DN交于点G，求△MCB₁和△B₁DG的周长之比．

Answer 1

分析：（1）①由题意易证得△ADF∽△EBF，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF：FE的值；
②首先求得△ABD的面积，由等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△ADF的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得△BEF的面积；
（2）易证得△MCB₁∽△B₁DG，由勾股定理可求得CM的长，然后由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得△MCB₁和△B₁DG的周长之比．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴△ADF∽△EBF，
∴AF：FE=AD：BE=6：2=3：1，
故AF：FE的值为3．

②∵△ADF∽△EBF，
∴DF：BF=AD：BE=3：1，
∴DF：BD=3：4，
∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×6=12，
∴S_△ADF=

3

4

×S_△ABD=9，
∵

S△ADF

S△BEF

=（

AD

BE

）²，
∴S_△BEF=1；

（2）∵∠DGB₁+∠DB₁G=90°，∠DB₁G+∠CB₁M=90°，
∴∠DGB₁=∠CB₁M，
∵∠D=∠C=90°，
∴△MCB₁∽△B₁DG．
设CM=x，则B₁M=BM=BC-CM=6-x，B₁C=

1

2

DC=2，
∴x²+2²=（6-x）²，
∴x=

8

3

，
∵△MCB₁∽△B₁DG，
∴

C△MCB1

C△B1DG

=

CM

B1D

=

4

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．