Question

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
①当BP=1，求cos∠CPQ的值（结果保留根号）；
②设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；当y取最小值时，求△PQC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰梯形的性质证明△AMB≌△DMC，得到AB=DC，得到答案；
（2）①作QH⊥PC于H，证明△MBP∽△PCQ，根据相似三角形的性质得到比例式求出CQ的长，根据余弦的定义求出答案；
②证明△MBP∽△PCQ，根据相似三角形的性质得到比例式，表示出y与x的关系，得到函数关系式，根据三角形面积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD的中点，
∴AM=MD，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°，
在△AMB和△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DM}\\{∠AMB=∠DMC}\\{MB=MC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）①作QH⊥PC于H，
∵∠MPC=∠MBP+∠BMP=∠MPQ+∠CPQ，
∴∠BMP=∠CPQ，又∠MBP=∠MPQ=60°，
∴△MBP∽△PCQ，
∴$\frac{MB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，即CQ=$\frac{3}{4}$，
∵∠QCH=60°，
∴HC=$\frac{3}{8}$，QH=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴PH=3-$\frac{3}{8}$=$\frac{21}{8}$，PQ=$\frac{3\sqrt{13}}{4}$，
∴cos∠CPQ=$\frac{PH}{PQ}$=$\frac{7\sqrt{13}}{26}$；
②∵MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△MBP∽△PCQ，
∴$\frac{PC}{BM}$=$\frac{CQ}{BP}$，
∵PC=x，MQ=y，则BP=4-x，CQ=4-y，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4-y}{4-x}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-x+4，
∵y=$\frac{1}{4}$x²-x+4=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，y的最小值是3，
则CQ=1，QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△PQC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是等腰梯形的性质、锐角三角函数的概念、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，掌握相关定理并能灵活运用是解题的关键．