Question

13．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．

Answer 1

分析 （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以$\frac{EP}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$；然后判断出$\frac{ED}{BC}$=$\frac{2AE}{AB}$，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．
（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出$\frac{AP}{AC}=\frac{PE}{BC}$；然后根据PE=PD，可得$\frac{AP}{AC}=\frac{PD}{BC}$，据此判断出AC•PD=AP•BC即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴$\frac{EP}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$…①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE=∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴$\frac{ED}{BC}$=$\frac{AE}{OB}$=$\frac{AE}{\frac{1}{2}AB}$=$\frac{2AE}{AB}$…②，
由①②，可得ED=2EP，
∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PE}{BC}$，
∵PE=PD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PD}{BC}$，
∴AC•PD=AP•BC．

点评 （1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．