【题目】如图,在中,,,,P是BC上一动点,过P作AP的垂线交CD于E,将翻折得到,延长FP交AB于H,连结AE,PE交AC于G.
(1)求证;
(2)当时,求AE的长;
(3)当时,求AG的长.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)先证明P、C、F共线,由余角的性质可证,根据等角对等边证明,再由余角的性质证明和等角对等边证明,结论可证;
(2)过A作于M,由勾股定理可求BC=4,然后求出MP的长,再由勾股定理求出AP的长,由是等腰直角三角形可求出AE的长;
(3)通过证明,可得,由外角的性质可求出∠PAF=F=22.5°,再根据角的和差和三角形内角和定理证明,然后求出,然后通过证明,利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,,
∴,
∴,
又∵,
∴,,
故F在AC的延长线上.
又,,
而,∴,
而,∴,∴,
又,,∴,
∴,∴,
(2)过A作于M,
∵,,
∴BC=4,
∴,,
又∵,
∴BP=3,CP=,
∴,
∴,
由(1)知AP=AE,
∴是等腰直角三角形,
∴;
(3)由,且得
,∴,
∴,∴,
∴,∴,
∵,
∴,而∴,
∴,∴,
∴,
∴.
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【题目】某初中学校举行校园歌唱大赛,对各年级同学的获奖情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据解答下列题:
(1)请将条形统计图补全;
(2)获得一等奖的同学中有来自七年级,有来自八年级,其他同学均来自九年级,现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加全市校园歌唱大赛,请通过列表或画树状图求所选出的两人中有七年级或八年级同学的概率.
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【题目】如图,四边形内接于,是的直径,点在的延长线上,延长交的延长线于点,点是的中点,.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:是等腰三角形;
(3)若,,求的值及的长.
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【题目】(1)问题发现:如图1,在等腰直角三角形中,,将边绕点顺时针旋转90°得到线段,连接,则的面积为__________;(请用含的式子表示的面积;提示:过点作边上的高)
(2)类比探究:如图2,在一般的中,,将边绕点顺时针旋转90°得到线段,连接.(1)中的结论是否成立,若成立,请说明理由.
(3)拓展应用:如图3,在等腰三角形中,,将边绕点顺时针旋转90°得到线段,连接.试直接用含的式子表示的面积.(不写探究过程)
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【题目】如图,在中,,,为外一点,将绕点按顺时针方向旋转得到,且点、、三点在同一直线上.
(1)(观察猜想)
在图①中, ;在图②中, (用含的代数式表示)
(2)(类比探究)
如图③,若,请补全图形,再过点作于点,探究线段,,之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)(问题解决)
若,,,求点到的距离.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的,两点,与轴交于点,过点作轴,垂足为点,,,点的纵坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(3)连接,求四边形的面积.
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【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=﹣x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.
(1)求a,b的值及反比例函数的解析式;
(2)若点P在直线y=﹣x+2上,且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标;
(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得△MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,说明理由.
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