Question

（2012•鄂尔多斯）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=

3

，OC=1．矩形OABC绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE．点A的对应点为点F，点O的对应点为点D，点C的对应点为点E，且点D恰好在y轴上，二次函数y=ax²+bx+2的图象过E、B两点．
（1）请直接写出点B和点D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x轴上方是否存在点P，点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据OA=

3

，OC=1，可得出点B的坐标，根据函数解析式可得出点D的坐标；
（2）过点E作EM⊥于BC点M，根据旋转角度可得出∠EBM=60°，结合BE=

3

，可得出点E的坐标，将点E和点B的坐标代入可得出二次函数解析式；
（3）设点P的坐标为（x，-

4

3

x²+

3

x+2），然后根据平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，可得出x的值，继而可求出点P的坐标及点Q的坐标．

解答：解：（1）∵OA=

3

，OC=1，
∴点B的坐标为（

3

，1），
根据二次函数解析式为y=ax²+bx+2，可得点D的坐标为（0，2）；
综上可得点B的坐标为（

3

，1），点D的坐标为（0，2）．

（2）过点E作EM⊥于BC点M，

∵∠EBM=60°，BE=

3

，
∴BM=

3

2

，EM=

3

2

，
∴CM=BC-BM=

3

-

3

2

=

3

2

，
∴点E的坐标为（

3

2

，

5

2

），
将点E及点B的坐标代入可得：

3a+ 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 5 2

，
解得：

a=- 4 3 b= 3

，
故函数解析式为y=-

4

3

x²+

3

x+2；

（3）存在．
设点P的坐标为（x，-

4

3

x²+

3

x+2），
∵平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，
∴

3

×（-

4

3

x²+

3

x+2）=2

3

，
解得：x₁=

3

4

3

，x₂=0，
当x=0时，点P的坐标为（0，2），此时点Q的坐标为（

3

，2）或（-

3

，2）；
当x=

3

4

3

时，点P的坐标为（

3

4

3

，2），此时点Q的坐标为（

7

4

3

，2）或（-

3

4

，2）；

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、旋转角度、解直角三角形及平行四边形的性质，综合性较强，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的内容，仔细理解题意，将所学的知识融会贯通，难度较大．