Question

如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，.

（1）求证：四边形是平行四边形;

（2）若，，，

当为何值时，四边形是菱形.

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。

解答：（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌DEF（SAS），

∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）解：连接BE，交CF与点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴=，即=，∴CG=，

∵FG=CG，∴FC=2CG=，

∴AF=AC﹣FC=5﹣=，

∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．