Question

如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点B坐标为（9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
（1）△DEF是否为等腰三角形？（不要说明理由）
（2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由．（图中实线、虚线一样看待）
（3）求折痕EF的长及所在直线的解析式．

Answer 1

解：（1）△DEF为等腰三角形．

（2）连接BD交EF于M，
∵B、D关于EF对称，
∴BM=DM，EM⊥BD，
易证EM=FM，
∴E、F关于M成中心对称，B、D关于M成中心对称，又M为BD的中点，
∴A、C关于M成中心对称，
∴四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称．

（3）设BE=OE=x，则AE=9-x，
在直角三角形AED中，（9-x）²+3²=x²，解得x=5，
∴E（4，3），F（5，0），
EF=，
直线EF的解析式为y=-3x+15．
分析：（1）根据矩形对边平行得到∠BEF=∠OEF，由翻折可得到∠BEF=∠OEF，那么∠OEF=∠BEF．那么△DEF为等腰三角形．
（2）连接BD交EF于M，由BM=DM，EM⊥BD，可求出EM=FM，OM=MB，故四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称．
（3）设BE=OE=x，则AE=9-x，利用勾股定理可求出x=5．可求出E，F的坐标．进而求出函数的解析式．
点评：本题考查的是图形的折叠及用待定系数法求一次函数的解析式．