Question

15．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且$\frac{FG}{GD}$=$\frac{AD}{CE}$．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AD²=DG•DE，求证：$\frac{E{G}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AG}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到$\frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，根据等式的性质得到$\frac{E{G}^{2}}{D{G}^{2}}$=$\frac{C{E}^{2}}{A{D}^{2}}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AG}{CG}$，
∵$\frac{FG}{GD}$=$\frac{AD}{CE}$，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{FG}{GD}$，
∴AB∥CD；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{AD}{CE}$，
∴$\frac{E{G}^{2}}{D{G}^{2}}$=$\frac{C{E}^{2}}{A{D}^{2}}$，
∴$\frac{E{G}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{D{G}^{2}}{A{D}^{2}}$，
∵AD²=DG•DE，
∴$\frac{E{G}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{DG}{DE}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{DG}{DE}$，
∴$\frac{E{G}^{2}}{C{E}^{2}}$=$\frac{AG}{AC}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．