Question

阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x²-6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数y=x²-6x+7的对称轴为直线x=3，
∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；
若m≥5，则x=m时，y的最大值为m²-6m+7．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当-2≤x≤4时，二次函数y=2x²+4x+1的最大值为______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x²+4x+1的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x²+4x+1的最大值为31，则t的值为______．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当-2≤x≤4时，二次函数y=2x²+4x+1的最大值为：2×4²+4×4+1=49；

（2）∵二次函数y=2x²+4x+1的对称轴为直线x=-1，
∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等，
∴若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p²+4p+1，
若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；

（3）t＜-2时，最大值为：2t²+4t+1=31，
整理得，t²+2t-15=0，
解得t₁=3（舍去），t₂=-5，
t≥-2时，最大值为：2（t+2）²+4（t+2）+1=31，
整理得，（t+2）²+2（t+2）-15=0，
解得t₁=1，t₂=-7（舍去），
所以，t的值为1或-5．
分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，再根据对称性可得x=-4和x=2时函数值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2讨论求解；
（3）根据（2）的思路分t＜-2，t≥-2时两种情况讨论求解．
点评：本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．