如图,抛物线经过△ABC的三个顶点,点A坐标为(0,3),点B坐标为(2,3),点C在x轴的正半轴上.
(1)求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标;
(2)点E为线段OC上一动点,以OE为边在第一象限内作正方形OEFG,当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,求线段OE的长;
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动.设平移的距离为t,正方形DEFG的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)在上述平移过程中,当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围;并求出当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(1)。C(6,0)。
(2)OE=2。
(3)存在满足条件的t.理由见解析
(4)当t=时,S取得最大值,最大值为1。
解析试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,令y=0解方程,求出点C的坐标。
(2)如答图1,由△CEF∽△COA,根据比例式列方程求出OE的长度。
(3)如答图2,若△DMN是等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论。
(4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图3,由S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK求出S关于t的表达式,然后由二次函数的性质求出其最值。
解:(1)∵抛物线经过点A(0,3),B(2,3),
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:。
令y=0,即,解得x=6或x=﹣4。
∵点C位于x轴正半轴上,∴C(6,0)。
(2)当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时,如答图所示:
设OE=x,则EF=x,CE=OC﹣OE=6﹣x.
∵EF∥OA,∴△CEF∽△COA。
∴,即。
解得x=2.∴OE=2。
(3)存在满足条件的t.理由如下:
如答图,
易证△CEM∽△COA,
∴,即,得。
过点M作MH⊥DN于点H,
则DH=ME=,MH=DE=2。
易证△MNH∽△COA,∴,即,得NH=1。
∴DN=DH+HN=。
在Rt△MNH中,MH=2,NH=1,由勾股定理得:MN=。
当△DMN是等腰三角形时:
①若DN=MN,则=,解得t=。
②若DM=MN,则DM2=MN2,即22+()2=()2,解得t=2或t=6(不合题意,舍去)。
③若DM=DN,则DM2=DN2,即22+()2=()2,解得t=1。
综上所述,当t=1、2或时,△DMN是等腰三角形。
(4)当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时,如答图,
设EF、DG分别与AC交于点M、N,
由(3)可知:ME=,DN=.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将点B(2,3)、C(6,0)代入得:
,解得。
∴直线BC的解析式为。
设直线BC与EF交于点K,
∵xK=t+2,∴。
∴。
设直线BC与GF交于点J,
∵yJ=2,∴2= ,得。
∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣=t﹣。
∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK=DE2﹣(ME+DN)•DE﹣FK•FJ
=22﹣ [(2﹣t)+(3﹣t)]×2﹣(t﹣1)(t﹣).
过点G作GH⊥y轴于点H,交AC于点I,则HI=2,HJ=,
∴t的取值范围是:2<t<。
∴S与t的函数关系式为:S(2<t<)。
S,
∵<0,且2<<,∴当t=时,S取得最大值,最大值为1。
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如图,已知△OAB的顶点A(﹣6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.
(1)写出C,D两点的坐标;
(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;
(3)证明AB⊥BE.
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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.
(1)求点A的坐标和∠AOB的度数;
(2)若将抛物线向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线上,请说明理由;
(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,平面直角坐标系中,以点C(2,)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A,B,试确定此二次函数的解析式.
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如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).
(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2<1,比较y1,y2的大小;
(3)点B(﹣1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式.
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2011年11月28日至12月9日,联合国气候变化框架公约第17次缔约方会议在南非德班召开,大会通过了“德班一揽子决议”(DurbanPackageOutcome),建立德班增强行动平台特设工作组,决定实施《京都议定书》第二承诺期并启动绿色气候基金,中国的积极态度赢得与会各国的尊重.
在气候对人类生存压力日趋加大的今天,发展低碳经济,全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识.某企业采用技术革新,节能减排.从去年1至6月,该企业二氧化碳排放量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间的函数关系如下表:
月份x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
二氧化碳排放量y1(吨) | 600 | 300 | 200 | 150 | 120 | 100 |
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如图,直线与抛物线相交于A,B两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且。
(1)求b的值;
(2)求证:点在反比例函数的图象上;
(3)求证:。
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如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与 轴交于A(,0),B(2,0),且与轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点, 连接PO,PC,
并把△POC沿CO翻折,得到四边形,求出使四边形为菱形的点P的坐标;
(3) 在此抛物线上是否存在点Q,使得以A,C,B,Q四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在, 求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
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