Question

2．四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是∠OBA-∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA-∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°．

Answer 1

分析 由圆内接四边形和平行四边形的性质可求出∠A=60°、∠C=120°，延长DO交⊙O于点E，延长BO交⊙O于点F．分点A在$\widehat{BE}$上、点A在$\widehat{EF}$上、点A在$\widehat{DF}$上以及点A在$\widehat{BD}$上四种情况考虑，根据四边形的内角和为360°以及各角间的关系，即可找出∠OBA和∠ODA的数量关系，此题得解．

解答 解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴∠C=∠BOD=2∠A，
∴∠A=60°，∠C=120°．
延长DO交⊙O于点E，延长BO交⊙O于点F．
①当点A₁在$\widehat{BE}$上时，
∵∠CBA₁+∠CDA₁=180°，∠CBO+∠CDO=360°-120°-120°=120°，
∴∠CBO+∠OBA₁+∠COD-∠ODA₁=180°，
∴∠OBA₁-∠ODA₁=60°；
②当点A₂在$\widehat{EF}$上时，
∵∠CBA₂+∠CDA₂=180°，∠CBO+∠CDO=360°-120°-120°=120°，
∴∠CBO+∠OBA₂+∠COD+∠ODA₂=180°，
∴∠OBA₂+∠ODA₂=60°；
③当点A₃在$\widehat{DF}$上时，
∵∠CBA₃+∠CDA₃=180°，∠CBO+∠CDO=360°-120°-120°=120°，
∴∠CBO-∠OBA₃+∠COD+∠ODA₃=180°，
∴∠ODA₃-∠OBA₃=60°；
④当点A₄在$\widehat{BD}$上时，
∠OBA₄+∠ODA₄=360°-120°-120°=120°．
综上所述，∠OBA和∠ODA的数量关系是：∠OBA-∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA-∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°．
故答案为：∠OBA-∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA-∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°．

点评 本题考查了圆周角定理、平行四边形的性质、圆内接四边形以及四边形内角和，分点A在$\widehat{BE}$上、点A在$\widehat{EF}$上、点A在$\widehat{DF}$上以及点A在$\widehat{BD}$上四种情况，找出∠OBA和∠ODA的数量关系是解题的关键．