Question

（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ；
（2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出即可；
（2）证四边形PBP'C是平行四边形，根据矩形的性质求出BP=CP，推出四边形是菱形即可；
（3）过点B作AP的平行线BP，过点C作PD的平行线交BP'于点P'，连接PP'，交BC于点M，以PB、BP'、P'C、CP为边构成四边形，且以BC、PP'为对角线，证△APD≌△BP'C（ASA），推出平行四边形ABP'P，得到AB∥PP'，AB=PP'AP=BP'，推出PD=CP'，根据等腰三角形的性质推出∠PMC=∠ABC=90°即可．

解答：（1）解：如图所示：
．

（2）PP'与BC的位置关系为：垂直．
证明：∵BP'∥PA，CP'∥PD，
∴四边形PBP'C是平行四边形，
∵点P是矩形ABCD对角线的交点，
∴BP=

1

2

BD，CP=

1

2

AC，AC=BD，
∴BP=CP，
∴四边形PBP'C是菱形，
∴PP'⊥BC．

（3）证明：过点B作AP的平行线BP，过点C作PD的平行线交BP'于点P'，连接PP'，交BC于点M．

∴∠PAB+∠ABP'=180°，∠PDC+∠DCP'=180°，
以PB、BP'、P'C、CP为边构成四边形，且以BC、PP'为对角线，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△APD≌△BP'C（ASA），
∴AP=BP'
∴四边形ABP'P是平行四边形．
∴AB∥PP'，AB=PP'AP=BP'，
同理可证：PD=CP'，
∴∠PMC=∠ABC=90°，
∴PP'⊥BC于M，
∴以AP、BP、CP、DP为边能构成四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．

点评：本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，垂线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．