Question

6．设直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$n（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n（n=1，2，…，2015），在S₁+S₂+…+S₂₀₀₅的值为$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 分别求出n=1、2、3，…2015时直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算出S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₅，然后利用分数的加减法计算它们的和．

解答 解：当n=1，则直线解析式为x+2y=$\sqrt{2}$，它与坐标轴的交点为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{2}$，0），S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
当n=2，则直线解析式为2x+3y=$\sqrt{2}$，它与坐标轴的交点为（0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2×3}$；
当n=3，则直线解析式为3x+4y=$\sqrt{2}$，它与坐标轴的交点为（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3×4}$；
所以当n=2015，则直线解析式为2015x+2016y=$\sqrt{2}$，它与坐标轴的交点为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2016}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2015}$，0），S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2016}$×$\frac{\sqrt{2}}{2015}$=$\frac{1}{2015×2016}$；
所以S₁+S₂+…S₂₀₁₅=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查了一次函数图形上点的坐标特征的应用，解此题的关键是能求出直线和坐标轴的交点坐标，注意：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．