Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E是边CD的中点，点P，Q分别是射线DC与射线EB上的动点，连结PQ，AP，BP，设DP＝t，EQ＝t．

（1）当点P在线段DE上（不包括端点）时．

①求证：AP＝PQ；②当AP平分∠DPB时，求△PBQ的面积．

（2）在点P，Q的运动过程中，是否存在这样的t，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②S△PBQ＝18﹣9；（2）存在，满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3．

【解析】

（1）①如图1中，过点Q作QF⊥CD于点F，证明Rt△ADP≌Rt△PFQ即可．

②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H，过点Q作PB的垂线，垂足为G．由Rt△ADP≌Rt△AHP，推出PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．由Rt△AHP△Rt△PGQ，推出QG＝PH＝DP＝t，在Rt△AHB中，则有32+（6﹣t）2＝62，求出t即可解决问题．

（2）分三种情形：①如图3﹣1中，若点P在线段DE上，当PQ＝QB时．②如图3﹣2中，若点P在线段EC上（如图），当PB＝BQ时．③如图3﹣3中，若点P在线段DC延长线上，QP＝QB时，分别求解即可．

（1）①证明：如图1中，过点Q作QF⊥CD于点F，

∵点E是DC的中点，

∴CE＝DE＝3＝CB，

又∵∠C＝90°，

∴∠CEB＝∠CBE＝45°，

∵EQ＝t，DP＝t，

∴EF＝FQ＝t．

∴FQ＝DP，

∴PF＝PE+EF＝PE+DP＝DE＝3

∴PF＝AD，

∴Rt△ADP≌Rt△PFQ，

∴AP＝PQ．

②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H，过点Q作PB的垂线，垂足为G．

由AP平分∠DPB，得∠APD＝∠APB，易证Rt△ADP≌Rt△AHP，

∴PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．

又∠APD＝∠PAB，∴∠PAB＝∠APB，

∴PB＝AB＝8，

易证Rt△AHP△Rt△PGQ，

∴QG＝PH＝DP＝t，

在Rt△AHB中，则有32+（6﹣t）2＝62，

解得t＝6﹣3，

∴S△PBQ＝PBQG＝×6×（6﹣3）＝18﹣9．

（3）①如图3﹣1中，若点P在线段DE上，当PQ＝QB时，

∴AP＝PQ＝QB＝BE﹣EQ＝3﹣t，

在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，得t2+9＝2（3﹣t）2，

解得t＝6﹣3或6+3（舍去）

②如图3﹣2中，若点P在线段EC上（如图），当PB＝BQ时，

∴PB＝BQ＝t﹣3，

则在Rt△BCP中，由BP2＝CP2+BC2，得2（t﹣3）2＝（6﹣t）2+9，

解得：t＝3或 （舍去）

③如图3﹣3中，若点P在线段DC延长线上，QP＝QB时，

∴AP＝PQ＝BQ＝t﹣3，

在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，

得t2+9＝2（t﹣3）2，解得（舍去）或

综上所述，满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3．