Question

16．如图1，直线CB∥OA，∠B=∠A=108°，E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA的度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA，算出结果．
（2）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
（3）由（1）（2）的结论可得．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOB=180°-∠B=180°-108°=72°，
∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOF，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠AOF，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=$\frac{1}{2}$×72°=36°；

（2）∠OCB：∠OFB的值不会发生变化，为1：2，
∵CB∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠OCB=∠FOC，
∴∠OFB=∠AOF=∠AOC+∠FOC=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；                    

（3）存在．
设∠AOC=x，
∵CB∥AO，
∴∠BCO=∠AOC=x，∠OEB=∠AOE，∠ACB=180°-∠A=180°-108°=72°，
∴∠OEB=∠AOE=∠EOC+∠AOC=36°+x，
∠OCA=∠ACB-∠BCO=72°-x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴36°+x=72°-x，
∴x=18°，
∴∠OCA=72°-x=72°-18°=54°．

点评 此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．