Question

如图，直线AB与坐标轴的交点分别为A、B，P是函数y=

1

2x

在第一象限的图象上的一点，它的坐标是（a，b），PM⊥x轴，PN⊥y轴，AB与PM、PN分别交于点E、F，OA=OB=1．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点E、F的坐标（用a、b表示）；
（3）△OAF与△EBO是否一定相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据OA=OB=1，即可得出A，B两点的坐标，代入解析式求出即可；
（2）把x=a代入y=-x+1，以及y=b代入求出即可；
（3）根据P是函数y=

1

2x

在第一象限的图象上的一点，它的坐标是（a，b），求出

AF

OA

=

OB

BE

即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB=1，即可得出A，B两点的坐标，
∴A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
∴

k+b=0 b=1

，
∴k=-1，b=1，
∴y=-x+1，
（2）x=a代入y=-x+1，
∴E（a，-a+1），y=-a+1，y=b代入，x=1-b．
∴F（1-b，b），

（3）△OAF与△EBO一定相似．
连接OE，OF．过点E作ED⊥BO于点D，
E（a，-a+1），B（0，1），
则BD=1-（-a+1）=a，DE=a，
故BE=

DE2+BD2

=

2

a．
F（1-b，b），A（1，0）．
∴AF=

2

b．（1分）b=

1

2a

，

2 b

1

=

1

2 a

，

OB

BE

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

，
∵P（a，b）是函数y=

1

2x

上的点，
∴b=

1

2a

，
∴2ab=1．
∴

2 b

1

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

∴

AF

OA

=

OB

BE

．
又∠OAB=∠OBA，
∴△OAF∽△EBO．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数与一次函数图象点的坐标性质，灵活利用三角形相似的判定定理得出是解决问题的关键．