Question

直角梯形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，点P、Q分别从点D、B同时出发，当点P运动到与点A重合时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（3）四边形ABQP能否为菱形？若能，求出t的值，若不能，说明理由．
（4）当t为何值时，以B，P，Q，三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）如图1，过点P作PN⊥BC，于点N，
S=×PN×BQ=×12×t=6t，（0＜t≤10.5）；

（2）当四边形ABQP是平行四边形时，PA=BQ，
∴21-2t=t解得：t=7，
∴当t=7时，四边形ABQP是平行四边形．

（3）如图3，作BW⊥AD，于点W，AR⊥BC于点R，
当四边形ABQP为菱形，则AB=BQ=PA=PQ，
∵AB===13，
∴当AP=13，2t=21-13，t=4秒，此时BQ=4，
∴BQ≠AB，
∴四边形ABQP不能为菱形；

（4）①如图2，当BP=BQ时，由题意得：B（16，0），P（2t，12），Q（16-t，0），
∴BP==，BQ=t，
PQ==，
∴=t，此时方程无实数根；
②图3，当BP=PQ时，PW=16-2t，PB=，
∴=，
解得：t₁=，t₂=0，
但当t=0时，B，Q两点重合，故t=；
③当BQ=PQ时，=t，此时方程无实数根；
综上所述，当t=秒时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
分析：（1）点P作PN⊥BC，垂足为N，则四边形PDCN为矩形，根据BQ=t，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）当四边形ABQP为平行四边形时，PA=BQ，即t=21-2t，可将t求出；
（3）利用菱形性质得出当四边形ABQP为菱形，则AB=BQ=PA=PQ，得出边长之间关系即可得出答案；
（4）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及直角梯形的问题，通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论是解题关键．