Question

17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），求S与t的函数关系，并作出函数图象．

Answer 1

分析 过A作AD⊥x轴于D，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积即可求出答案．

解答 解：
由已知得ON=1，过A作AH⊥OC，垂足为H
∵∠AOC=60°，∠AOH=90°
可得AH=$2\sqrt{3}$；
（1）当0≤t≤2时
∵l垂直x轴
∴∠ONM=90°
∵∠AOC=60°
∴MN=$\sqrt{3}t$
∴S=$\frac{1}{2}ON•MN=\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$
（2）当2≤t≤4时
S=$\frac{1}{2}ON•AH=\sqrt{3}t$

x	0	1	2
y	0	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$2\sqrt{3}$

x	2	4
y	$2\sqrt{3}$	4$\sqrt{3}$

函数图象为：

点评 本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．