Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，AD=8，如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、AD交于点M、N，那么MN的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：连结NE，根据矩形的性质得CD=AB=12，则DE=

1

2

CD=6，根据勾股定理可计算出AE=10，再利用折叠的性质得到NE=NA，设AN=x，则NE=x，DN=8-x，在Rt△DNE中利用勾股定理得到（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

，然后证明Rt△AMN∽Rt△DAE，则利用相似可计算出MN．

解答：解：如图，连结NE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=12，
∵E为CD的中点，
∴DE=

1

2

CD=6，
在Rt△ADE中，AD=8，
∴AE=

AD2+DE2

=10，
∵矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、AD交于点M、N，
∴MN⊥AE，NA=NE，
设AN=x，则NE=x，DN=8-x，
在Rt△DNE中，
∵DN²+DE²=NE²，
∴（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△AMN∽Rt△DAE，
∴

MN

AE

=

AN

DE

，即

MN

10

=

25 4

6

，
∴MN=

125

12

．
故答案为：

125

12

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和三角形相似的判定与性质．