Question

19．设抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=17，其中x₁＜x₂，抛物线的顶点为M，点P（a，b）为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
（2）当∠APB=90°时，求P点坐标；
（3）连接AC，过P点做直线PE∥AC交x轴于点E，是否存在一点P，使以点A、C、P、E为顶点的四边形为平行四边形？若不存在试说明理由；若存在，试求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0）可知x₁，x₂为方程的两个根，再由根与系数的关系即可得出m的值．
（2）根据勾股定理，可得AP²，PB²，再根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案
（3）①当点P位于x轴上方时，根据轴对称的性质可得出P点坐标；
②当点P位于x轴下方时，根据CE∥AP，作PM⊥x轴于点M，四边形ACEP是平行四边形可得出△COE≌△PMA，故PM=OC=2即P点的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式即可得出x的值，进而得出P点坐标．

解答 解：（1）∵当抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）和x轴相交时，y=0，即mx²-3mx+2=0，
∴x₁，x₂为方程的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-3m}{m}$=3，x₁x₂=$\frac{2}{m}$．
又∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17，
∴9-$\frac{4}{m}$=17，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
顶点横坐标是-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
顶点的纵坐标是$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×2-（\frac{3}{2}）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{25}{8}$，
顶点M的坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
（2）设P（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，即A（-1，0），B（4，0）．
由勾股定理，得AP²=（a+1）²+（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）²，
PB²=（a-4）²+（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）²，
由勾股定理逆定理，得AP²+PB²=AB²，
即（a+1）²+（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）²+（a-4）²+（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）²=（4+1）²，
化简，得
a²-3a=0．
解得a₁=0，a₂=3，
P₁（0，2），P₂（3，2）；
（3）存在这样的点P，
①如图1，当点P位于x轴上方时，
∵PC∥AE，
∴PC∥x轴，
∴点C与点P关于抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，C（0，2），
∴P（3，2）；
②如图2，当点P位于x轴下方时，
CE∥AP，作PM⊥x轴于点M，
∵四边形ACEP是平行四边形，
∴AC∥PE，AC=PE．
在△COE和△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠PMA}\\{∠ECO=∠APM}\\{AC=PE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△PMA（AAS），
∴PM=OC=2
∴P点的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式
y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，
解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴P（ $\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．
∴使以点A、C、P、E为顶点的四边形为平行四边形的P点有三个：（3，2），（ $\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．

点评 本题考查的是二次函数综合题．
（1）利用根与系数的关系求函数解析式；
（2）利用勾股定理求三角形的边，再利用勾股定理逆定理求三角形的角；
（3）利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，自变量与函数值的对应关系，分类讨论是解题关键．