Question

【题目】(1)问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.

填空: ①的值为 ；②∠DBE的度数为 .

(2)类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由.

(3)拓展延伸

如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.

Answer 1

【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由见解析；（3）3+或3-

【解析】

（1）易得△ABC和△CDE为等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通过证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，进而得出答案；

（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度数；

（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性质可得∠ABE=90°，BE=AD，由勾股定理可求BE的长．

解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，

∴∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45°

∴AC=BC，CD=CE

∵∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°

∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°

故答案为：1，90°；

（2）=，∠DBE=90°，理由如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°，

∴tan∠ABC=tan30°==.

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，

∴Rt△ACB∽Rt△DCE，

∴=，且∠ACD=∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴==，∠CBE=∠CAD=60°,

∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；

（3）若点D在线段AB上，如图，

由（2）知：==，∠ABE=90°，

∴BE=AD，

∵AC=2，∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∴AB=4，BC=2.

∵∠ECD=∠ABE=90°，且点M是DE中点，

∴CM=BM=DE，

且△CBM是直角三角形，

∴CM2+BM2=BC2=（2）2，

∴BM=CM=，

∴DE=2，

∵DB2+BE2=DE2，

∴（4-AD）2+（AD）2=24，

∴AD=+1，

∴BE=AD=3+；

若点D在线段BA延长线上，如图，

同理可得：DE=2，BE=AD，

∵BD2+BE2=DE2，

∴（4+AD）2+（AD）2=24，

∴AD=-1，

∴BE=AD=3-.

综上所述：BE的长为3+或3-.