【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,点B是⊙O 上一点,AB是⊙O的切线,连接BP并延长,交直线l于点C.
(1)求证AB=AC;
(2)若PC=,OA=15,求⊙O的半径的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接OB,求切线性质得OB⊥AB,可得∠OBP+∠ABP=90°,有等边对等角得∠OBP=∠OPB,由对顶角及等量代换得到∠OBP=∠OPC,再由OA⊥直线l,得到∠APC+∠ACP=90°,从而∠ABP=∠ACP,由等角对等边即可得AB=AC;
(2)延长AO交⊙O于D,连接BD,设⊙O半径为R,则AP=15-R,OB=R,根据勾股定理得出方程152-R2=(6)2-(15-R)2,求出R即可.求出AC=AB=4,△DBP∽△CAP,得出,代入求出BP即可.
(1)连接OB,
∴OB⊥AB,
∴∠OBP+∠ABP=90°,
∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB,
∴∠OBP=∠OPC,
∵OA⊥直线l,
∴∠PAC=90°,
∴∠APC+∠ACP=90°,
∴∠ABP=∠ACP,
∴AB=AC;
(2)延长AO交⊙O于D,连接BD,
设⊙O半径为R,则AP=15-R,OB=R,
在Rt△OBA中,AB2=152-R2,
在Rt△APC中,AC2=()2-(15-R)2,
∵AB=AC,
∴152-R2=()2-(15-R)2,
解得:R=9,
即⊙O半径为9,
则AC=AB=12,
∵PD为直径,OA⊥直线l,
∴∠DBP=∠PAC,
∵∠APC=∠BPD,
∴△DBP∽△CAP,
∴,
∴,
∴PB=.
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【题目】已知抛物线经过点E(1,0)和F(5,0),并交y轴于D(0,-5);抛物线:(a≠0),
(1)试求抛物线的函数解析式;
(2)求证: 抛物线 与x轴一定有两个不同的交点;
(3)若a=1
①抛物线、顶点分别为 ( , )、( , ) ;当x的取值范围是_________ 时,抛物线、 上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大;
②已知直线MN分别与x轴、、分别交于点P(m,0)、M、N,且MN∥y轴,当1≤m≤5时,求线段MN的最大值。
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,DE垂直于对角线AC,垂足是E,连接BE.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若△ABE是等边三角形,四边形BCDE的面积等于2,求CE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD为菱形,且(0,3)、(﹣4,0).
(1)求经过点的反比例函数的解析式;
(2)设是(1)中所求函数图象上一点,以顶点的三角形的面积与△COD的面积相等.求点P的坐标.
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【题目】如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为.
(1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?
(2)已知为优三角形,,,,
①如图1,若,,,求的值.
②如图2,若,求优比的取值范围.
(3)已知是优三角形,且,,求的面积.
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【题目】对于一元二次方程,下列说法:①若,则方程必有一根为;②若是方程的一个根,则一定有成立;③若,则方程一定有两个不相等实数根;其中正确结论有( )个.
A. B. C. D.
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【题目】如图,正方形ABCD中,对角线AC=8cm.射线AF⊥AC,垂足为A.动点P从点C出发在CA上运动,动点Q从点A出发在射线AF上运动,两点的运动速度都是2cm/s.若两点同时出发,多少时间后,四边形AQBP是特殊四边形?请说明特殊四边形的名称及理由.
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