Question

如图，在等腰梯形中，AC∥OB，OA=BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，已知A（2，2

2

），B（8，0）．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）设D为OB的中点，以D为圆心，OB长为直径作⊙D，试判断点A与⊙D的位置关系；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知四边形OACB是等腰梯形，则根据A，B的坐标及等腰梯形的性质即可求得点C的坐标．
（2）连接AD，根据已知可推出四边形ABCD是平行四边形，过A作AE⊥OB于E，根据勾股定理即可注得AO的长，从而可判定点A在⊙D上．
（3）点A在⊙D上，OB为直径，则可知△OAB是直角三角形，从而分情况进行分析即可．

解答：解：（1）C（6，2

3

）；

（2）连接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
∵D是圆心
∴DB=

1

2

OB=4=AC
∴ACBD是平行四边形
∴AD=CB=AO
过A作AE⊥OB于E
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4
∴AD=AO=4=

1

2

OB
∴点A在⊙D上；

（3）∵点A在⊙D上，OB为直径
∴∠OAB=90°
即△OAB是直角三角形
故符合题意的点M有以下3种情况：
①当△OM₁B与△BAO相似时（如图），则有

M1B

OB

=

AO

BO

∴M₁B=AO
∵CB=AO
∴M₁B=CB
∴点M₁与点C重合
∴此时点M₁的坐标为（6，2

3

）；
②当△OM₂B与△OBA相似时，即过B点作OB的垂线交OA的延长线于M₂（如图），
则有

M2B

OB

=

AB

AO

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

3

．
∴M₂B=8

3

．
∴此时点M₂的坐标为（8，8

3

）．

③当△OM₃B与△BOA相似时，即过B点作OB的垂线交OC的延长线于M₃（如图），
则有

M3B

OB

=

AO

AB

．
∴M₃B=

8 3

3

．
∴此时点M₃的坐标为（8，

8 3

3

）．

点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质，点与圆的位置关系及相似三角形的判定方法等知识点的综合运用能力．