【题目】如图1,△ABC中,BE平分∠ABC交AC边于点E,过点E作DE∥BC交AB于点D,
(1)求证:△BDE为等腰三角形;
(2)若点D为AB中点,AB=6,求线段BC的长;
(3)在图2条件下,若∠BAC=60°,动点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿射线BE运动,请直接写出图3当△ABP为等腰三角形时t的值.
【答案】(1)详见解析;(2)BC=6;(3)当△ABP为等腰三角形时t的值为,6,.
【解析】
(1)由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB,可证得结论;
(2)由条件可知BD=DE=DA=3,且DE为△ABC的中位线,可求得BC长;
(3)分BP=AP、BP=AB、AP=AB三种情况分别讨论求t的值即可.
(1)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∵DE∥BC,
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE,
∴BD=ED,
∴△DBE为等腰三角形;
(2)∵点D为AB中点
∴AD=BD=ED=AB=3,
∵DE∥BC,
∴E为AC中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴BC=2DE=6;
(3)在(2)的条件下可知DE=DA,且∠BAC=60°,∴△ADE为等边三角形,
∵BC=2DE=AB,
∴△ABC为等边三角形,
当BP=AP时,过点P作PE⊥AB,交AB于点E,则BF=AB=6,
在Rt△PBF中,∠PBF=∠ABC=30°,
∴BP=,即t=,
当BP=BA时,此时BP=6,即t=6,
当AB=AP时,此时,BP=2BE=,
即t=,
综上可知当△ABP为等腰三角形时t的值为,6,
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【题目】⊙O的半径为5,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在直线AB上.
(1)如图(1),已知∠BCD=∠BAC,求证:CD是⊙O的切线;
(2)如图(2),CD与⊙O交于另一点E.BD:DE:EC=2:3:5,求圆心O到直线CD的距离;
(3)若图(2)中的点D是直线AB上的动点,点D在运动过程中,会出现C,D,E在三点中,其中一点是另外两点连线的中点的情形,问这样的情况出现几次?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论: ①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2 ,
其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上一点,且CE=CD,过点E作EF⊥AC交AD于点F,连接BE.
(1)求证:DF=AE;
(2)当AB=2时,求BE2的值.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点,且l1∥l2∥l3.若l1与l2的距离为4,l2与l3的距离为6,则Rt△ABC的面积为___________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】由甲、乙两个工程队承包某校园绿化工程,甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是2:3,两队合做6天可以完成.
(1)求两队单独完成此工程各需多少天?
(2)甲乙两队合做6天完成任务后,学校付给他们30000元报酬,若按各自完成的工程量分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,AD⊥BC,BD=2,延长AD到E,使AE=2AD,连接BE.
(1)求证:△ABE为等边三角形;
(2)将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置,其中点P与点E重合,且∠NEM=60°,边NE与AB交于点G,边ME与AC交于点F.求证:BG=AF;
(3)在(2)的条件下,求四边形AGEF的面积.
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