Question

【题目】如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出的值，不存在请说明理由；

(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．

Answer 1

【答案】(1)A(，)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，=；(3)点D的坐标为(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．

【解析】

(1)将y＝x+1与y＝﹣x+3联立求得方程组的解可得到点A的坐标，然后将y＝0代入函数解析式求得对应的x的值可得到点B、C的横坐标；

(2)当OE∥AD时，存在四边形EODA为平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理可得到=；

(3)当DB＝DC时，点D在BC的垂直平分线上可先求得点D的横坐标；即AC与y轴的交点为F，可求得CF＝BC＝F，当点D与点F重合或点D与点F关于点C对称时，三角形BCD为等腰三角形，当BD＝BC时，设点D的坐标为(x，﹣x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，从而可求得点D的横坐标．

(1)将y＝x+1与y＝﹣x+3联立得：，

解得：x＝，y＝，

∴A(，)．

把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，

∴B(﹣1，0)．

把y＝0代入y＝﹣x+3得：﹣ x+3＝0，解得：x＝4，

∴C(4，0)．

(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．

∵EO∥AC，

∴==．

(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为，

将x＝代入直线AC的解析式得：y＝，

∴此时点D的坐标为(，)．

如图所示：

FC＝＝5，

∴BC＝CF，

∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，

∴此时点D的坐标为(0，3)；

当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，

∴此时点D的坐标为(8，﹣3)，

当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，﹣x+3)，

依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，

解得x＝4(舍去)或x＝﹣，

将x＝﹣代入y＝﹣x+3得y＝，

∴此时点D的坐标为(﹣，)．

综上所述点D的坐标为(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．