Question

已知三角形的中线，通常把中线延长一倍，构造全等三角形．如图，△ABC中，AD是中线，AD也是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，∠BAD=∠DEC，从而求得∠CAD=∠DEC，根据等角对等边即可求得结论．

解答：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，BE，
∵AD是中线，
∴BD=DC，
在△BDA和△CDE中，

AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=DC

，
∴△BDA≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，∠BAD=∠DEC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴EC=AB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．