Question

9．【学习新知】
定义：直角三角形的三个顶点分别在矩形的三条边上，并且这个三角形把矩形分割得到若干个三角形，若其中两个三角形均与这个直角三角形相似，我们就把这个直角三角形叫做这个矩形的内接相似直角三角形．
【解决问题】
矩形ABCD中，AB=4，AD=8，△EFG的三个顶点E、F、G分别在AD、DC、BC上．
（1）如图，点E与点A重合，∠EFG=90°．
①求证：△EDF∽△FCG；
②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，求DF的长；
（2）若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，且它的三个顶点与矩形各顶点都不重合，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）①△EDF与△FCG已经是直角三角形，只需要再找一个角相等即可，注意到∠EFG=90°，则∠EFD+∠GFC=90°，又因为∠EFD+∠FED=90°，从而得到∠FED=∠GFC，得证．
②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，如图1，则∠GAF=∠FAD，即AF是∠GAD的平分线，又AF⊥GF，延长AD与GF交于点H，根据三线合一可知F为GH的中点，进而可得F也是CD的中点，DF就是CD的一半．
（2）由△EFG的直角并没有确定是哪个角，自然应该分类讨论，根据每一种情况画出相应的图形，结合确定的几何关系进行推导和计算，主要是利用相似比进行计算，值得注意的是，当EG垂直BC时，有无数种情况，需单独说明．

解答 解：（1）①∵∠EFG=90°，
∴∠EFD+∠GFC=90°，
∵∠EFD+∠FED=90°，
∴∠FED=∠GFC，
∵∠EDF=∠FCG=90°，
∴△EDF∽△FCG；
②∵△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，
∴△AFG∽△ADF∽△FCG，
∴∠GAF=∠FAD，
延长GF、AD交于点H，如图1，

∵AF⊥GF，
∴GF=HF，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=2；
（2）①若∠EFG=90°，有两种情况：
第一种：△EDF∽△FCG∽△GFE，如图2-1，

此时∠GEF=∠EFD，
∴GE∥CD，
∴GCDE为矩形，
这种情况下，F点有无数个，
原因是：以GE为直径画圆与CD相交，交点即为F．
水平移动GE，交点F是随着变动的，因此F点有无数个．
第二种：如图2-1所示，

此种情况下同（1）②一样可证F点为CD中点，即DF=2．
②若∠EGF=90°，如图2-3所示：△EDF∽△EGF∽△GCF，（全等也是相似）

则∠GFC=∠EFD=∠EFG=60°，
∵EF为△EDF与△EGF的公共边，
∴△EDF≌△EGF，
∴DF=GF=2CF，
∴DF=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{8}{3}$，
③若∠GEF=90°，如图2-4所示，

与上种情况同理，可得DF=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判断与性质、全等三角形的判定与性质、三线合一等知识点，技巧性很强，难度较大，特别是最后一问，情况较多，需要认真周密地考虑．