Question

4．如图，抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；
（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；
（3）根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2$\sqrt{5}$；
（4）过点P作y轴的平行线交BC于F．利用待定系数法求得直线BC的解析式，可求得点F的坐标，设P点的横坐标为m，可得点P的纵坐标，继而可得线段PF的长，然后利用面积和即S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF×BO，即可求出．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx-2$得到：0=$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
则该抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．则C（0，-2）．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）由（2）知，B（4，0），C（0，-2），
由抛物线的性质可知：点A和B关于对称轴对称，如答图1所示：
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2$\sqrt{5}$．
∴CM+AM的最小值是2$\sqrt{5}$；

（4）如答图2，过点P作y轴的平行线交BC于F．
设直线BC的解析式为y=kx-2（k≠0）．
把B（4，0）代入，得
0=4k-2，
解得k=$\frac{1}{2}$．
故直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2．
故设P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），则F（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m-2-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×4=-（m-2）²+4，即S_△PBC=-（m-2）²+4，
∴当m=2时，△PBC面积的最大值是4．

点评 此题考查了二次函数综合应用，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，三角形面积的求法．