Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

（1）已知a＝1，点B的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．

②如图2，若BD＝AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若BD＝AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）①AC＝4；②y＝4（x﹣）2；（2）＝﹣，＝．

【解析】

（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值．

解：（1）①二次函数y＝x2，当y＝2时，2＝x2，

解得x1＝，x2＝，

∴AB＝，

∵平移得到的抛物线L1经过点B，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝；

②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，

根据抛物线的轴对称性，得BN＝DB＝，

∴OM＝．

设抛物线L2的函数表达式为y＝a（x﹣）2，

由①得，B点的坐标为（，2），

∴2＝a（）2，

解得a＝4．

抛物线L2的函数表达式为y＝4（x﹣）2；

（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，

过点B作BK⊥x轴于点K，

设OK＝t，则AB＝BD＝2t，点B的坐标为（t，at2），

根据抛物线的轴对称性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t．

设抛物线L3的函数表达式为y＝a3x（x﹣4t），

∵该抛物线过点B（t，at2），

∴at2＝a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴＝﹣，

由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t2），

则﹣4a3t2＝ax2，

解得，x1＝﹣t，x2＝t，

EF＝t，

∴＝．