Question

如图∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠1=60°，∠7=20°
（1）试说明AC⊥BD；
（2）求∠3及∠5的度数；
（3）求四边形ABCD各内角的度数．

Answer 1

解：（1）∵∠1+∠2+∠DAB=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1+∠3+∠AOD=90°，
∴∠AOD=90°，
∴AC⊥BD；

（2）∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°．
∵AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠5=90°-∠7=70°；

（3）∠DAB=2∠3=60°，
∠ADC=∠1+∠7=60°+20°=80°，
∠DCB=∠5+∠6=70°+70°=140°，
则∠ABC=360°-∠DAB-∠ADC-∠DCB=80°．
分析：（1）根据三角形内角和定理即可证得∠1+∠3=90°，则在△AOD中，利用内角和定理即可求得∠AOD=90°，即可证得；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（3）根据根据（2）即可求得∠DAB，∠ADC，∠DCB的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求得∠ABC的度数．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，以及四边形的内角和定理，直角三角形的两锐角互余，正确理解三角形的内角和定理是关键．