Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且CF=CA，则∠ABF=

22.5°或112.5

°．

Answer 1

分析：分两种情况考虑，分别画出相应的图形，（i）当点F在点C的左边时，首先根据等腰直角三角形的性质得到三角形ABC的顶角为直角，底角为45°，且两腰AC=BC，再根据直线l与AB平行，得到一对内错角相等，可得出∠FCB的度数，又FC=AC，等量代换可得CF=CB，同时根据三角形的内角和定理求出∠CBF的度数，由∠ABC-∠CBF即可求出∠ABF的度数；（ii）当点F在点C的右侧时，根据等腰直角三角形的性质得到三角形ABC的顶角为直角，底角为45°，且两腰AC=BC，再根据直线l与AB平行，得到一对内错角相等，可得出∠FCB的度数，又FC=AC，等量代换可得CF=CB，同时根据三角形的内角和定理求出∠CBF的度数，由∠ABC+∠CBF即可求出∠ABF的度数．

解答：解：根据题意画出图形如下：
分两种情况讨论：
（i）当点F在点C的左边时，如图①，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，
∵l∥AB，
∴∠FCA=∠CAB=45°，
∴∠FCB=∠FCA+∠ACB=135°，
又∵CF=CA，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF=

180°-∠FCB

2

=22.5°，
∴∠ABF=∠CBA-∠CBF=45°-22.5°=22.5°；
（ii）当点F在点C的右边时，如图②，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，
∵l∥AB，
∴∠FCB=∠CBA=45°，
又∵CF=CA，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF=

180°-∠FCB

2

=67.5°，
∴∠ABF=∠CBA+∠CBF=45°+67.5°=112.5°．
故答案为：22.5°或112.5．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及平行线的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，同时注意本题有两解，学生做题时不要漏解．