Question

17．已知二次函数y=a（x-8）（x+2），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠ACB=90°，此抛物线的函数关系式是y=$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）或y=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）．

Answer 1

分析 根据二次函数y=a（x-8）（x+2），可以得出点A，B的坐标，即可得出AB的长，然后再利用直角三角形三边关系得出点C的坐标，然后把点C的左边代入函数解析式中求得a的值，即可求得函数解析式．

解答 解：∵二次函数y=a（x-8）（x+2），与x轴交于A、B两点，
∴二次函数与x轴交点为A（8，0），B（-2，0），
∴AB的长为10，
∵二次函数与y轴交点为C，
∴设C点坐标为（0，k），
又∵∠ACB=90°，
∴4+k²+k²+64=100，即2k²=32，
∴k=±4
∴点C的坐标为（0，4）或（0，-4），
把点C（0，4）代入函数解析式中有：4=a×（-8）×2，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴此抛物线的函数解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）；
把点C（0，-4）代入解析式中有：-4=-8a×2，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴此抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）；
故答案为：y=$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）或y=-$\frac{1}{4}$（x-8）（x+2）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是利用∠ACB=90°求出点C的坐标，此题难度一般．