Question

如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AE交CD于M，BD交CE于N，连接MN，试判断△MCN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，则可得到∠ACE=∠DCB，根据全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有AE=BD；
（2）由于ACD=∠BCE=60°，可得∠DCE=60°，则∠ACM=∠DCN，利用△ACE≌△DCB得到∠CAM=∠CDN，再根据全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，则CM=CN，
然后根据等边三角形的判定方法即可得到△MCN为等边三角形．

解答：（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；

（2）解：△MCN是等边三角形．理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=60°，∠ACB是一个平角，
∴∠DCE=60°，
即∠ACM=∠DCN，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM和△DCN中

∠CAM=∠CDN CA=CD ∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
∴△MCN为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．