Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线及直线AC的解析式；
（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围）．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过B（1，0）、C（0，3）两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3
由y=-x²-2x+3可得A点坐标为（-3，0）
设直线AC的解析式为y=kx+n，
∴
解得
∴直线AC的解析式为y=x+3．

（2）∵OA=OC=3，OB=1
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=，AB=4
∴∠ECO=45°
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC
∴△AEO∽△ABC
∴
∴
∴AE=．
∴CE=AC-AE=-=
过点E作EH⊥y轴于H
可得EH=CH=1，OH=2
∴E点的坐标为（-1，2）
∵抛物线y=-x²-2x+3顶点D的坐标为（-1，4）
∴ED=2
∴MF=ED=2
∵F在线段AC上，M在抛物线y=-x²-2x+3上
∴设F点的坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，-x²-2 x+3）
∴-x²-2 x+3-（x+3）=2
解得x₁=-2，x₂=-1（不合题意，舍去）
∴F点的坐标为（-2，1）
∴FN=NA=1
在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
当FP∥MA时，可得
∴
∴
∴P点的坐标为（-，0）
当MP∥FA时，可得
∴PN=3
∴P点的坐标为（-5，0）
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
点P的坐标为（-，0）或（-5，0）．

（3）当x＜-5时，锐角∠QCO＜∠BCO
当x=-5时，锐角∠QCO=∠BCO
当-5＜x＜-1时，锐角∠QCO＞∠BCO．
分析：（1）利用待定系数法，把已知坐标代入求出抛物线的解析式．设直线AC的解析式为y=kx+n，爸已知坐标代入求出直线AC的解析式．
（2）首先证明△AEO∽△ABC，利用线段比求出AE的长．然后作EH⊥y轴于H，易得E点坐标．设F点的坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，-x²-2 x+3），求出点P的坐标，然后根据MP∥FA所推出的线段比求出PN的值从而求出P点坐标．
（3）份额根据x的取值范围不同求解．
点评：本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定定理，难度较大．