Question

如图，矩形ABCD，点E在BC上，连结AE，过A、B、E三点的⊙O交CD于F，且EF平分∠AEC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，CF+CE=6，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形性质得出∠ABC=∠C=90°，推出AE是⊙O的直径，求出∠OFE=∠FEC，推出OF∥BC，求出OF⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）过O作OH⊥BE于H，求出BE=2HE，推出四边形OHCF是矩形，得出OF=HC，OH=FC，设CE=x，则CF=6-x，在Rt△OHE中，由勾股定理得出（6-x）²+（4-x）²=16，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠OFE=∠FEC，
∴OF∥BC，
∴∠OFD=90°，
即OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过O作OH⊥BE于H，
则BE=2HE，
∵∠OHC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形OHCF是矩形，
∴OF=HC，OH=FC，
设CE=x，则CF=6-x，在Rt△OHE中，由勾股定理得：（6-x）²+（4-x）²=16，
解得：x₁=5-

7

，x₂=5+

7

（舍去），
∴BE=2（4-x）=2

7

-2．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，切线的性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度偏大．