【题目】如图,Rt△AOB中,∠OAB=90°,OA=AB,将Rt△AOB放置于直角坐标系中,OB在x轴上,点O是原点,点A在第一象限.点A与点C关于x轴对称,连结BC,OC.双曲线 (x>0)与OA边交于点D、与AB边交于点E.
(1)求点D的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是正方形;
(3)连结AC交OB于点H,过点E作EG⊥AC于点G,交OA边于点F,求四边形OHGF的面积.
【答案】(1)点D的坐标为(3,3);(2)见解析;(3).
【解析】
(1)由OA=AB,∠OAB=90°可得出∠AOB=∠ABO=45°,进而可设点D的坐标为(a,a),再利用反比例函数图象上点的坐标特征结合点D在第一象限,即可求出点D的坐标;
(2)由点A与点C关于x轴对称结合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC,进而可得出四边形ABCO是菱形,再结合∠OAB=90°,即可证出四边形ABCO是正方形;
(3)依照题意画出图形,易证△AFG≌△AEG,进而可得出S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG,设点A的坐标为(m,m),点E的坐标为(n,),易证AG=GE,进而可得出2m-n=,再利用三角形的面积公式结合S四边形OHGF=S△AOH-S△AEG,即可求出四边形OHGF的面积.
解:(1)∵OA=AB,∠OAB=90°,
∴∠AOB=∠ABO=45°,
∴设点D的坐标为(a,a).
∵点D在反比例函数y=的图象上,
∴a=,解得:a=±3.
∵点D在第一象限,
∴a=3,
∴点D的坐标为(3,3).
(2)证明:∵点A与点C关于x轴对称,
∴OA=OC,AB=BC.
又∵OA=AB,
∴OA=OC=AB=BC,
∴四边形ABCO是菱形.
又∵∠OAB=90°,
∴四边形ABCO是正方形.
(3)依照题意,画出图形,如图所示.
∵EG⊥AC,
∴∠AGE=∠AGF=90°.
∵四边形ABCO是正方形,
∴AC⊥OB.
∵OA=AB,
∴∠FAG=EAG.
在△AFG和△AEG中,
,
∴△AFG≌△AEG(ASA),
∴S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG.
设点A的坐标为(m,m),点E的坐标为(n,).
∵OA=AB,EF∥OB,
∴AG=GE,
∴m-=n-m,即2m-n=,
∴S四边形OHGF=m2-(n-m)(m-)=m2-mn++m2-=m(2m-n)+-=+-=.
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【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)这组数据的中位数是 ,众数是 ;
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;
(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.
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【题目】(本小题满分10分)如图,一次函数的图象与反比例函数(为常数,且)的图象交于A(1,a)、B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.
(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.
(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长.
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【题目】已知反比例函数与一次函数y=kx+b的图象都经过点(-2,-1),且当x=3时这两个函数值相等.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)直接写出当x取何值时,成立.
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【题目】问题呈现:阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG
∵M是的中点,
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
实践应用:
(1)如图3,已知△ABC内接于⊙O,BC>AB>AC,D是的中点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC;
(2)如图4,已知等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为上一点,连接DB,∠ACD=45°,AE⊥CD于点E,△BCD的周长为4+2,BC=2,请求出AC的长.
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【题目】如图,三角形BCO是三角形BAO经过某种变换得到的.
(1)写出A,C的坐标;
(2)图中A与C的坐标之间的关系是什么?
(3)如果三角形AOB中任意一点M的坐标为(x,y),那么它的对应点N的坐标是什么?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,2)、(1,0),顶点C在函数y=x2+bx-1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′,点D的对应点D′落在抛物线上,则点D与其对应点D′之间的距离为 ______.
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