【题目】 如图,AC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线.点E在直径AC上,连接ED交⊙O于点B,连接AB,且AB=BD.
(1)求证:AB=BE;
(2)若⊙O的半径长为5,AB=6,求线段AE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)过B作BF⊥AD于点F,由等腰三角形的性质得F是AD的中点,再由切线的性质得AC⊥AD,进而得BF是△ADE的中位线便可得结论;
(2)过O作OM⊥AB于点M,过B作BN⊥AC于点N,根据垂径定理求得AM,再解直角三角形求得cos∠OAM,进而在Rt△ABN中求得AN,便可求得结果.
解:(1)过B作BF⊥AD于点F,如图1,
∵AB=BD,
∴AF=DF,
∵AD是⊙O的切线,
∴AC⊥AD,
∴AC∥BF,
∵AF=DF,
∴BD=DE,
∴AB=BE;
(2)过O作OM⊥AB于点M,过B作BN⊥AC于点N,如图2,
∵AB=6,AB=BE,
∴AM=BM==3,AE=2AN,
∵OA=5,
∴cos∠OAM=,
∴cos∠BAN=,
∴AN=,
∴AE=2AN=.
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【题目】对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A. c<﹣3B. c<﹣2C. c<D. c<1
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【题目】(1)如图1,在正方形中,点、分别是、边上的动点,且,求证:.
(2)如图2,在正方形中,如果点、分别是、延长线上的动点,且,则、、之间数量关系是什么?请写出证明过程.
(3)如图1,若正方形的边长为6,,求的长.
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【题目】如图,在一块直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上,E、F分别在AC、BC上,当点D在AB边上移动时,DE始终与AB垂直,若△CEF与△DEF相似,则AD= .
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【题目】 如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,连接AC,以AC为边在AC上方作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连接AE,再以AE为边在AE上方作第三个菱形AEGH,使∠HAE=60°.则菱形AEGH的周长为( )
A.B.12C.3D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C,直线y=﹣x+4经过点B,与y轴交点为D,M(3,﹣4)是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知点N在对称轴上,且AN+DN的值最小.求点N的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点E与点C关于对称轴对称,请你画出△EMN并求它的面积.
(4)在(2)的条件下,在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知点A1(1,1),将点A1向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点A2;将点A2向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度得到点A3;将点A3向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度得到点A4,…按这个规律平移下去得到点An(n为正整数),则点An的坐标是( )
A.(2n,2n﹣1)B.(2n﹣1,2n)
C.(2n﹣1,2n+1)D.(2n﹣1,2n﹣1)
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【题目】设一次函数y1=x+a+b和二次函数y2=x(x+a)+b.
(1)若y1,y2的图象都经过点(-2,1),求这两个函数的表达式;
(2)求证:y1,y2的图象必有交点;
(3)若a>0,y1,y2的图象交于点(x1,m),(x2,n)(x1<x2),设(x3,n)为y2图象上一点(x3≠x2),求x3-x1的值.
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