Question

14．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）因为点（-1，0），（0，3）在抛物线y=-x²+bx+c上，可代入确定b、c的值；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象确定y＞0时，x的取值范围；
（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x≤4时，y的最大值．

解答 解：（1）把（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3
（2）把x=0代入y=-x²+bx+c中，
得-x²+bx+c=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以当-1＜x＜3，y＞0；
（3）由y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
抛物线的对称轴为直线x=1，
则当2≤x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x=2时，y的最大值是3．

点评 本题考查了二次函数的图象、极值、与x轴的交点等知识，掌握二次函数的性质，通常利用数形结合解决此类问题．